2018年南开大学生命科学学院845普通生态学之高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
，因此
不是
的特解，从而否定A ，C.
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
的基础解系. 又由
2． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
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并记A 各列依次为
从而
线
由于不妨
可推得AB 的第一列知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 4． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
线性相关，所以线性相关，故选A.
是（ ）二次型. 于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
阶方阵，且秩
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩A , 则线性方程组（ ）.
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
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由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B.
二、分析计算题
6． 设
使其以
，
为根.
将
代入上式，得
由1不是
的根，故
作根的平移，令再作倒根变换，得
7． 设n 阶方阵对角上元素为1和0.
【答案】由于因子只能由
于是A 相似于
故A 满足构成.
故存在可逆方阵P . 使
因而A
的最小多项式整除
的初等
且
证明:存在可逆方阵P , 使
与
皆为对角矩阵且主
得
，则
为所求.
【答案】作带余除法
且
是
的根，求一个整系数多项式，
（1）
令
则由
得
即由（2）
又由
可得
从而
于是由上同理可得
（3）
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此
得
（
为
r
阶
）
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