2018年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同. 2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令这时
则
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
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则A 与B （ ）.
使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
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方法2所以当方法3设
则
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
，即
时，二次型可化为
所以f 为正定的. 3． 设是非齐次线性方程组
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
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时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
则当
的两个不同解，是的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
，因此不是的特解，从而否定A ，C.
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
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4． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组
5． 齐次线性方程组
线性无关.
线性无关.
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.
时，
由
，用
使
则（ ）.
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
二、分析计算题
6． 设A 为n 阶方阵,
且
其中
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为A 的伴随矩阵, 为n 阶单位矩阵.
（1）求A 的一个零化多项式; （2）求A 的最小多项式（3）求A 的若当标准形.