2017年北京市培养单位物理研究所601高等数学(甲)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算闭区域。
【答案】如图所示，几可用不等式表示为
因此
，其中
是由曲面
，平面
和
所围成的
图
2． 一金属棒长3m ，离棒左端xm 处的线密度的质量为全棒质量的一半。
【答案】[0, x]一段的质量为总质量为m （3）=2，要满足
，求得
。
。问x 为何值时，[0，x]一段
3． 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示）。截面的面积为5m 。问底宽2为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？
【答案】设截面的周长为, 己知故令由
所以当截面的底宽为
, 得驻点
知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。
及
, 即
时, 才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省。
图
4． 求螺旋线
【答案】由曲线的直角坐标方程为
由方程为
由方程为
5． 求通过点A （3，0，0）和B （0，0，1）且与xOy 面成了
【答案】设所求平面方程为
角的平面的方程.
得
，故该螺旋线在xOz 面上的投影曲线的直角坐标
得
，故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
得
，故该螺旋线在xOy 面上的投影
，B （0，0，l ），故a=3，c=1.这样平面方程为 平面过点A （3，0，0）
它与xOy 面成
角，故
即
故所求平面为
6． 设f （x ）在R 上连续，且
（l ）（2）（3）（4）
必有间断点 必有间断点; 未必有间断点 必有间断点.
在R 上处处连续。
在R 上处处连续。
，同（2）
在R 上处处连续，则
在R 上处处连续。
也在R 上处处连续，
在R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中，哪
些是对的， 哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。
【答案】（l ）错。例如（2）错。例如（3）对。例如
（4）对。因为，若
这与己知条件矛盾。
7． 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度
）：
【答案】（l ）曲面所围立体为圆锥体，其顶点在原点，并关于z 轴对称，又由于它是匀质的，因此它的质心位于z 轴上，即有
。立体的体积为
。
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