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一、计算题

1． 当为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分

与二重积分有什么关系?

，且在上，z=0，因此

【答案】此时在xOy 面上的投影区域D xy 就是自身（但不定侧）

当取上侧时为正号，取下侧时为负号。

2． 画出下列各方程所表示的曲面：

【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示；（4）如图4所示；（5）如图5所示

.

图1 图

2

图3 图4

图5

3． 在摆线

，

上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。

【答案】对应于摆线第一拱的参数t 的范围为[0, 2π]，参数t 在范围[0，t 0]时摆线的长度为

当t 0=2π时，长度为8a ，故所求点对应的参数t 0满足到点的坐标为

。

，解得

，从而得

4． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。

【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线

；

（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕

，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为

5． 设函数y=f（x ）的图形如图，试在图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）中分别标出在点x 0的dy ，△y 及△y-dy ，并说明其正负。

【答案】

6． 一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成。试求当一质量为m 的质点沿圆周针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功。

【答案】依题意，

t 从0变到，因此

按逆时

7． 在抛物线y=x2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?

【答案】割线的斜率

2

即2x 0=4， 故x 0=2，

假设抛物线上点（x 0，x 0）处的切线平行于该割线，则有由此得所求点为（2，4）。

8． 求下列欧拉方程的通解：

【答案】（1）令

2

（D +2D+1）y=0

即并记则原方程可化为

于是该方程的通解

即

该方程的特征方程为

故原方程的通解为

（2）

令

即

并

记

有根

则原方程可化

为

有根

即

故齐次

该方程对应齐次方程的特征方程为

方程的通解为

因

不是特征方程的根，故可

令

中并消去

于是得

即原方程的通解为

是非齐次方程的特解。代

入

得

即