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一、填空题

1． 设

为球体

上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方。则次球的质

心的z 坐标为_____。

【答案】

【解析】由质心计算公式知

2． 设

为曲面

和平面z=1围成的空间体，则

的形心的z 坐标

_____。

【答案】【解析】

3． 直线L ：

【答案】【解析】设有

又因

即

由此式得

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，绕直线L 1：

旋转一圈所产生的曲线方程是_____。

是1上的一点，当L 绕L 1旋转时，M 0旋转到

此时

（2）式代入（1）式中，得

即

4． 设曲线

【答案】-2 【解析】由条件可知

，故

5． 曲线

【答案】（-l , 0） 【解析】将

代入曲率计算公式, 有

整理有

, 解得x=0或-1, 又

, 所以x=-1, 这时y=0

上曲率为

的点的坐标是_____。

和

在点（0, 1）处有公共的切线，则

=_____。

故该点坐标为（-1, 0）

6．

设函数

由方程

_____。

【答案】1

【解析】根据偏导数的求解方法可知

所给出，

其中任意可微，

则

故

7． 设C 是从球面曲线

【答案】【解析】

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。

上任一点到球面

则

_____，其中

上任一点的任一条光滑

。

分别是两球面上的点）。 8． 当a=_____, b=_____时微分。

【答案】【解析】

若要使满足

则 9． 设

【答案】2011 【解析】级数

的部分和数列为

则

，则级数

的和为_____。

恰为某函数的全微分，

则需满足，解得

则

。

。结合题意知，需要

恰为函数_____的全

二、计算题

10．判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.

（1） （2） （3） （4）

【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为

，边界为

.

（3）集合是开集，区域，无界集；导集为

（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为

，边界为

.

（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为

;

. . ，

边界为

; ;

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