2017年曲阜师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体
【答案】令
则
对上式求导易知，当
2． 设随机变量
独立同分布, 且
时上式达到最小，最小值为
它小于的均方误差
是样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
, 这正是伽玛分布
3． 总体
（1）证明
, 所以由
诸的相互独立性
得特征函数
为
的特征函数, 由唯一性定理知
其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；
为取自该总体的样本，为样本均值.
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
则
从而
于是，
这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为
因而θ的最大似然估计为
下求
的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为
显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围
故
从而
这说明
不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又
因而
是θ的相合估计.
个
4． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为
【答案】
设事件设
则显然有
则由全概率公式得
把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立.
5． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
下用归纳法证明.
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，
记
即的后验分布为
仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的
共轭先验分布.
6． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：
[2]设随机变量X 取
值
【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证，
由上题的结论知
[2]仿题[1]有
7． [1]设间为
[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：
表
试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.
的概率分别
是证明
：
是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区