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一、证明题

1． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

2． 设

是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为

（1）求此分布的充分统计量；

（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题

的拒绝域；

（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到

由此可见

是

的无偏估计.

当

较大时，

拒绝原假设

是合理的.

故对

的拒绝域为

其中c 由概率等式可以证明，

当

时

，

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确定. 为了确定c , 需要充分统计量

由此可

得

的分布.

或者

在原假设由等式

成立下，有

可得

记

是分布的

分位数，可得

譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由

可知

时，

所以 c=21.887.

时，将拒绝原假设

从而有

在原假设

成立下，有

这

里

可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，故由中心极限定理

知

, 从而有

故由等式

可得

记

即

若n=15, 3 设．在, 且N 与

查表得

从而

为独立同分布的随机变量序列, 且方差存在. 随机变量N 只取正整数值, 独立. 证明:

【答案】因为

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利用分布的分位数可确定临界值c.

认为

为标准正态分布的分位数，则有

存

所

以

4． 设数为

是来自均匀分布

其中

（2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布；

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

5． 设

证明:

为独立的随机变量序列, 且

服从大数定律.

所以由

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

的独立性可得

【答案】因为

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