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一、计算题

1 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 标准差．

为0.lkg , 问5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？

【答案】记

为第i 只零件的质量, 由

得

利用林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

这表明:5000只零件的总质量超过2510kg 的概率近似为0.0787.

2． 设二维随机变量u , n 的联合密度函数为

求【答案】

的非零区域与

的交集为图阴影部分, 所以

图

3． 在生产中积累了32组某种铸件在不同腐蚀时间x 下腐蚀深度y 的数据，求得回归方程为

且误差方差的无偏估计为

总偏差平方和为0.1246.

（1）对回归方程作显著性检验（2）求样本相关系数；

列出方差分析表；

（3）若腐蚀时间x=870，试给出y 的0.95近似预测区间. 【答案】（1）由已给条件可以得到因此

表

把这些平方和移至如下方差分析表上，继续计算

若取显著性水平归方程检验的p 值为

则因此回归方程是显著的，此处，回

这是一个很小的概率，说明回归方程显著性很高. （2）样本相关系数

（3）若腐蚀时间x=870，则y 的预测值为

其0.95近似预测区间的半径为

从而y 的0.95近似预测区间为

4． 设猎人在猎物100m 处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5. 若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150m. 若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200m. 若第三枪还未命中，则猎物逃逸. 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率.

【答案】记X 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，所以有

又因为在100m 处命中猎物的概率为0.5，所以0.5=P（X=100）=k/100，从中解

得k=50.若以事件A ，B ，C 依次记“猎人在100m 、150m 、200m 处击中猎物”，则

因为各次射击是独立的，所以

5． 设X , Y 独立同分布, 都服从标准正态分布N （0, 1）, 求

【答案】因为X , Y 独立, 都服从N （0, 1）, 所以

.

又因为

由于所以

6． 从1，2，3，4，5五个数中任取三个，按大小排列记为

（1）X 的分布函数； （2）P （X<2）及P （X>4）. 【答案】（1）因为X 的分布列为

所以X 的分布函数为

试求：

（2）

7． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布

发现有126个疵点，在

显著性水平为0.05下能否认为该种布每平方分米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值.

【答案】以X 记每平方米上的疵点数，则可认为; f-PU ），需要检验的假设为

由于n=100, 故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是因而，检验的统计量为若取由于u 在

则

检验的拒绝域为

这里u=2.6落入拒绝域，故拒绝原

而

假设，认为该种布每平方米上的平均疵点数不超过1个的结论不成立.

成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为

试求E （X ）和W （X ）.

由此得

所以

8． 设随机变量X 的分布函数为

【答案】因为X 为非负连续随机变量，有

注，此题也可直接计算得，