2017年西南交通大学力学与工程学院875高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
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则A 与B （ ）.
使
其中故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
因此A 与B 合同.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设则3条直线 （其中 【答案】D 【解析】令其中 则方程组①可改写为 则3条直线交于一点 线性无关，由秩 线性表出. 方程组①有惟一解 ）交于一点的充要条件是（ ） . 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 由秩A=2, 可知可由 可知线性相关，即可由线性表出， 从而 线性相关，故选D. 第 3 页，共 39 页 二、分析计算题 6． 设A ，B 是数域K 上的n 阶方阵，X 是未知量组AX=0和BX=0分别有1，m 个线性无关的解向量，这里 （2）如果l+m>n, 那么（A+B）X=0必有非零解； （3）如果AX=0和BX=0无公共的非零解向量，且l+m=n, 那么表示成 这里 ，分别是AX=0和BX=0的解向量. ） 而 因此齐次方 则 据题设， 又 所 从而有 【答案】对n 用数学归纳法. 当n=l时结论显然. 假定对未知量个数未知量成立. 设若方程组（1）有解而与其相等的个数依次分别为 且由（1）可得 这是关于列式为 于是由克拉默法则知：因此，方程组U ）的任一解必 第 4 页，共 39 页 所构成的矩阵. 已知齐次线性方程证明： （1）方程组（AB ）X=0至少有max （1，m ）个线性无关的解向量； 中任一向量 郎可惟一地 【答案】（1）由题设， （2）因 所以 所以另一方面，方程组（AB ）x=0有n-rank （AB ）个线性无关的解向量. 故所证结论成立. 程组（A+B）X=0必有非零解. （3）设AX=0和BX=0的解空间分别为与 的和是直和，故 所证结论成立. 所以 7． 证明：以下方程组在复数域内只有零解 时结论成立，下证对n 个 都不是零，且不妨设前m 个为其两两互异的全体，于是 的一个齐次线性方程组，由范德蒙德行列式知，其前m 个方程的系数行 矛盾. 中必有零. 不妨设 于是由（1）的前n-1个方程知