2017年西南石油大学理学院936高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
的特解，因此选B.
分别为A ，B 的伴随矩阵，
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由知是
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
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即
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
4． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设即证秩 5． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
二、分析计算题
6． 记
为实数域R 上n 维标准欧几里得空间，A 为实数域R 上的一个II 阶方阵，
证明：
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【答案】所以设故 7．
4
即贝U
于是
由
故
则
因为
由
综上所述得
为有限维欧氏空间的一个标准正交组，
对
是V 的基.
生成的子空间为
即
均有
设
那么
【答案】设由
所以
又
所以由即
所以
知
从而
为V 的基：
结合正交组线性无关知
8． 设T 是酉空间V 的一个线性变换，证明：下面四个命题互相等价.
（1）T 是酉变换； （2）T 是同构映射； （3）如果【答案】取令
是标准正交基，那么设T 是酉变换，即
为V 的一组标准正交基，且
为A 的列向量，由有
所以
也是标准正交基
. 任取V 的一组标准正交基
令
其中. 为列向量，则
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也是标准正交基；
（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵.
由（3）知
也是标准正交基，且