2017年西南交通大学数学学院875高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 是
的一个特解，所以选C.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
A 的3个顺序主子式为
所以当时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
方法4令
所以f 为正定的. 3． 设
为空间的两组基，且
又
则（ ）•
【答案】（C ）
【解析】令由②有
将①代入④得
即
4． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
）
该方程组只有零解从而
线性无关.
方法2:对向量组C ，由于
线性无关，且
因为所以向量组
线性无关.
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（
【答案】D 【解析】
二、分析计算题
6． 设
的正惯性指数为P ，秩为r ，证明：
【答案】
可改写为
设二次型的矩阵为A ，则
•
）
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