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一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使

C. 存在可逆阵C 使【答案】D

【解析】

3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

分别为A ，B 的伴随矩阵，

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

4． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

所以f 为正定的.

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5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

二、分析计算题

6． 设

（1）求

成为对角阵； 为对角阵.

（2）求非奇异矩阵P ，使（3）求非奇异矩阵R 使【答案】⑴

（2）计算可得特征向量为

令

有

作二次型并配方得

令

则

且退化线性替换为

其中

故

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所以A 的特征值为并可求出相应的线性无关