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一、解答题

1． 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：

（1）（2）（3）

【答案】（1）

（2）

（3）

当当

时. 时，

当

时，

（2）上半圆的方程为

下半圆的方程为

于是

2． 求下列函数在x=l处的泰勒展开式：

绕y 轴

绕x 轴。 绕x 轴；

绕x 轴；

【答案】

所以f (x ) 在x= 1处的泰勒展开式为

(2)

因所以

在

处的幂级数展开式为

(3)

因

而这

所以

3． 设

定义在

上

证明:存在子列

在处有左、右导数；令

使

【答案】

而

由致密性定理，

令

则

4． 求内摆线

所围图形的面积（图）。

有收敛子列

使

又设

图

【答案】所围图形的面积为

5． 利用定积分求下列极限：

【答案】⑴

因为

所以

故

（2）

当

时，

所以

从而

当当

时，时，

即

所以所以

（3）因为

而

由迫敛性知