2018年河南科技大学数学与统计学院636数学分析之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
目录
2018年河南科技大学数学与统计学院636数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（一）.... 2 2018年河南科技大学数学与统计学院636数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（二）.... 8 2018年河南科技大学数学与统计学院636数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（三）.. 13 2018年河南科技大学数学与统计学院636数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（四）.. 22 2018年河南科技大学数学与统计学院636数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（五）.. 27
一、证明题
1． 若在区间I 上, 对任何正整数n ,
证明:当【答案】因为及任意
在I 上一致收敛时, 级数有
从而由
, 得
所以, 由柯西准则知, 级数
在I 上一致收敛.
存在. , 则有
从而
故=>:因为导数定义有
当 3． 设（f x ）
满足
则f
在在
上恒等于0.
上连续. 由最小最大值定理知, f （x ）
现
上的最大值为M , 最小值为m , 并且
绝对收敛时, 只能有绝对收敛.
绝对收敛, 所以
, 又f （x ）在点x=0连续, 所以f （0） =0, 由, 即. （否则
与
.
的敛散性相同, 矛盾）.
,
2． 设函数f （x ）在点x=0的某邻域内有定义,
证明:
绝对收敛
存在且
.
【答案】:由于
在I 上也一致收敛.
总存在N>0, 使得当n>N时,
对任意
在I 上一致收敛, 故对任给的
, 其中g （x ）为任一函数. 证明:若
【答案】反证法. 因f （x ）存在二阶导数, 故f （x ）在
上存在最大值和最小值. 设f （x ）在
证M=m=0.假设
,
因
得
,
故. 于
是
于是
由费马定理
知
为f （x ）的一个严格极小值. 这与
再
由
为最
大值矛盾, 故M=0.同理可证m=0.
所以在上
4． 证明:若函数列在[a, b]上满足定理的条件, 则
【答案】由题
设
设由
为
的收敛点, 则对任意的满足定理的条件可知
有
在[a, b]上一致收敛.
一致收敛, 不妨
设
连续
且
故从而
由为
的收敛点可知, 对任意
存在N 1, 使得当存在N 2, 使得当
从而当所以
5．
设连续函数列明
:
均有值,
取
因此有又函数g （x ）
在上一致连续, 所以
又
上连续, 所以g （x ）在[﹣M , M]上也连续, 因而g （x ）在[﹣M , M]
当
时, 有
当n>N时,
, 有
【答案】因为
时,
有
在[a, b]上一致收敛.
在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 而g （x
）在在[a, b]上一致收敛于f （x ）, 所以, 存在N 1, 当即
I
又因为
时,
上连续, 证
时, 总有时, 对任意
有
在[a, b]上一致收敛于g （t ）, 故对上述的
在[a, b]上一致收敛于g （f （x ））.
和f （x ）在[a, b]上连续, 一定存在最
在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 对上述
注意到
因此可得,
这说明在[a, b]上一
致收敛于g （f （x ））.
6． 通过对F （x , y ）=sinxcosy施用中值定理，证明对某
【答案】在
则
，有
中，令
即
.
二、解答题
7． 对n 次多项式进行因式分解
从某种意义上说, 这也是一个反函数问题, 因为多项式的每个系数都是它的, n 个根的已知函数, 即
要得到用系数表示的根, 即
试对n=2与n=3两种情况, 证明:当方程
无重根时, 函数组①存在反函数组②.
因为
无重根, 所以
所以由定理可知函数组①存在反函数组②. （2）当n=3时, 由于
所以
又
【答案】（1）当n=2时, 由韦达定理（根与系数的关系）有
所以由定理可知函数组①存在反函数组②.