2018年河北师范大学910数学分析与高等代数综合[专业硕士]之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且
（1）（2）又若【答案】由
,
, 则又有
.
（*）
（1）在（*）式中令
在[a, b]上两边对x 求定积分, 得
故有
（2）（*）式两边在[a, b]上对t 定积分, 得
从而对任意的
, 有
由即
2． 对
【答案】令
应用拉格朗日中值定理, 试证:对x>0有
, 则
, 对
第 2 页，共 28 页
, 证明:
知f （x ）为凸函数, 所以根据定理, 对[a, b]上任意两点x , t 有
, 得
, 可得. 故有
应用拉格朗日中值定理得
因此
9
故
,
二、解答题
3． 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
又
, 故收敛半径R=l, 收敛区间为（﹣
1, 1）
.
与级数
均发散, 故收敛域为（﹣1
, 1）.
故收敛半径R=2, 收敛区间为（﹣2, 2）. 当
时
, 级数
时, 级数
【答案】（1）因（2）因为
收敛, 故收敛域为[﹣2, 2].
（3）记
所以
收敛半径R=4.当
时, 级数为
通项为u n , 则
故（4）因（5）设径为
（6）设区间为
当
时, 原级数可化为
第 3 页，共 28 页
即
则
收敛域为
时级数发散, 故收敛域为（﹣
4,
4）. 故收敛半径为
:收敛域为
故对任取定的x , 有
则
, 故级数收敛半径
, 故
从而收敛
故级数的收敛半
对于级数
因为
故级数当
收敛, 又
时, 原级数可化为
因级数（7）设（8）设
则
因此级数在
4． 设
求:（1）（2）（3
）【答案】
同理（1）将（2）（3）由于
5． 考察函数
第 4 页
，共 28 页
收敛, 故时, 原级数收敛.
收敛, 而级数
则
发散,
故时原级数发散, 从而收敛域为故收敛半径
故
时, 原级
数是发散的, 从而收敛域为（﹣
1, 1）.
时收敛, 时发散, 从而可得收敛半径
R=l, 收敛区域为[﹣1, 1].
代入可得
, 所以
.