2018年河北工业大学理学院810数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 对下列命题, 若认为是正确的, 请给予证明; 若认为是错误的. 请举一反例予以否定:
（1）设（2）设（3）设（4）设可导.
而题设矛盾.
（3）命题错误. 如取处处不可导. （4）命题错误.
如取在
不可导, 而f （x ） =0在x 0=0可导.
函数
:
及
, 由f （x ）的凸性知
所以有
即
故f （x ）为I 上的凸函数.
为[0, 1]上的凸函数
.
..
及
, 因为函数
为[0, 1]上的凸函数, 所以
为[0, 1]上的凸函
2． 证明:f （x ）为区间I 上凸函数数.
【答案】
, 则
在
可导
.
（狄利克雷函数）, 则
处处可导.
但
与
, 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;
, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导; , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;
, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导.
,
, 则
, f （x ）在
处
在x 0=0处都不可导.
在x 0也可导. 这与
【答案】（1）命题错误. 如取
（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点x 0可导, 又因在点x 0也可导, 则
3． 证明:若f , g 均为和g , 则
上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在上分别一致收敛于f
其中
为f 的傅里叶系数,
为g 的傅里叶系数.
上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在
上
【答案】依题意, f ﹢g 与f ﹣g
均为
分别一致收敛于f ﹢g 和f ﹣g , 由帕塞瓦尔等式可知
两式相减即得
4． 设
证明
的充要条件是
则时, 有则
即
, 证明:
为递増有界数列, 且对任何正整数; 的极限, 则
于是
.
因而
由于
的界, 即对一切正整数n
,
故
正整数
的正整数n , m总有取极限得
则由
的极限都存在, 设
又因
即
由迫敛性定理知, 由（1）知
两边
即
为递减有界数列
,
由
知
因而
设正数M 为数
列
可知, 对一
切
故对任何
的定义知
即当
时, 有当
时, 有
即
对
取
, 又因为
所以
【答案】必要性, 若对
取充分性, 若则当
5． 设
时, 有为有界数, 记
为递减有界数列, 收敛的充要条件是
当
（1）对任何正整数, （2）（4）
（3）设和分别是【答案】（1）由（2）由于
为递增有界数列. 对任何正整数n , m , 设
（3）由单调有界原理知
（4）充分性, 由（1）和确界的定义知,
数列收敛. 必要性,
设
于是, 当
则对任意
的
时
因此,
由的任意性知
存在N , 使得
当
时
,
即
在上面两个不等式的两边分别取极限得’
6． 设f , g 为D 上的非负有界函数. 证明:
（1）（2）
【答案】（1）对任意
于是
所以
（2）对任意
于是
所以
7． 设
为无穷小数列,
为有界数列, 证明:
为无穷小数列.
又因为
为无穷
时,
有
因此, 当n>N
【答案】因时,
为有界数列, 故存在
所以
使得对一切正整数n , 有故
为无穷小数列.
小数列, 所以对任
给存在正整数N ,
当
二、解答题
8． 求下列函数的导数: