当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 计算积分

, 其中D 是x=0, y=l, y=x围成的区域.

【答案】由题意知, 所求的积分为

2． 设函数f 在

上具有二阶导数, 且

.f 在（0, a ）内取得最大值. 试证:

【答案】设f 在（0, a ）内的点在（0, a ）

内具有二阶导数, 根据费马定理

, 日中值定理, 得到

其中

3． 计算重积分

其中D 是以集, 它的点总可表示为

作变换:

第 2 页，共 26 页

取得最大值, 于是是f 的一个极值点. 由于

和

上对

,

并且f 应用拉格朗

,

分别在区间

因为’, 所以

为顶点, 面积为A 的三角形.

【答案】可以利用重心公式直接求得结论, 本题采用具有一般性的方法进行求解. 三角形为凸

所以

I

4．

设

【答案】如果存在某证明如下:由又由以当

时,

. 在何种条件下能由此推出, 使得在知, 对任给的

, 使得当从而

内

, . 存在

?

,

则由题设条件能推出使得当

时, 有即

时, 由于

所.

, 对上面的, 存在

二、证明题

5． 证明以下数列发散:

（1）（2）（3）

的偶数项发散.

【答案】（1）, 若一个数列收敛于a , 则它的任何子列也收敛于a , 数列组成的子列数列

发散. （3）令

则

于是

6． 设f （x ）在

数列

的两个子列的极限不相等, 故数列

收敛于

1,

而奇数项组成的子列

的第2k 项为

收敛于1, 从而

（2）收敛数列必有界. 而数列

于是这个数列是无界的, 从而

发散. . 若

上有一阶连续导数, 且f （0）>0,

, 证明:

.

, 有

第 3 页，共 26 页

【答案】, 由

对其取极限可得

由已知条件有

7． 按

（1）（2） （3） （4）

（5）

【答案】（1）由于

故对任意的（2）不妨设

只要取. 则

对任意的

只要取

则当

时, 有

（3）

由于

对任意的

（4）由于

只要取

则当

对于任意的

时, 有只要取

, 故则当

（5）因为

令

由

得

对于任给

取

则当

时, 有 . 时

,

则当

时,

这就证明了:

定义证明:

第 4 页

，共 26 页