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一、解答题

1． 计算下列三重积分:

（1）（2）（3）

, 其中

, 其中

, 其中

及

; （

）所围区域;

, z=0和x=h所围区域.

【答案】（1）因为关于平面x=0对称, 被积函数关于z 为奇函数, 所以

（2）作变换于是

I

（3）作变换区域变为:

, 即, 从而

2． 试求

在

上的傅里叶级数, 并求级数

的延拓, 则

故由收敛定理, 对

,

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, 则区域变为:

,

, 且

, 则,

的和.

【答案】将f （x ）作周期为

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当令

时, 其傅里叶级数收敛于

, 即有

3．

试作一函数

使当

时,

（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；

（4）重极限与一个累次极限存在

, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数

满足

因为

故（2）函数同理

不存在，

满足

也不存在. 但是

（3）函数因为在（4）函数

4． 求a , b之值

, 使得椭圆

【答案】椭圆的面积

包含圆

, 且面积最小.

. 欲使S 最小, 必须要求

.

先求a , b

所满足的约束条件满足当满足

时，重极限和两个累次极限都不存在，

不存在但是

时，sinx 的值在﹣1与1之间振荡，同理，siny 也是一样的.

不存在.

椭圆与圆相切, 在切点处纵坐标y 值和斜率值应相等, 即

从式（2）中解出构造拉格朗日函数

第

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, 代入式（1）可得:

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由

解之可得:

由于实际问题存在最小值, 所以这唯一的极值点必是最小值点, 最小值

5． 计算五重积分

其中V :

【答案】当n=5时, 取m=2, 则

6． 设f 为二阶可导函数, 求下列各函数的二阶导数:

【答案】 （1）

,

（2）

（3）

二、证明题

7．

设

与

中一个是收敛数列, 另一个是发散数列.

证明

是收敛数列, 是收敛数列, 因此

,

是发散数列,

又问

和

是否必为发散数列? 【答案】用反证法. 不妨设敛数列,

由于散数列. 同理可证

在题设条件下

,

与时,

, 并且

是发散数列. 令

假设

是收是发时,

是收敛数列. 这与题设矛盾,

故

也是发散数列. 和

都可能是发散的, 也可能是收敛的. 例如,

当

时

,

与

都是发散的.

而当

都是收敛的.

当发散,

收敛.

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