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一、证明题

1． 由于帕塞瓦尔等式对于在果证明下列各式:

（1）（2）（3）

上满足收敛定理条件的函数也成立（证略）. 请应用这个结

【答案】（1）知

且f （x ）周期延拓后在

上满足收敛定理条件, 故由帕塞瓦尔等式, 得

即

（2）知

又f （x ）周期延拓后在

内满足收敛定理条件, 由帕塞瓦尔等式, 得

故（3）知

且f （x ）周期延拓后在

内满足收敛定理条件, 故

即

2

． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且

试证:（1

）【答案】（1）令（2）将结论中换成x :即

亦即

,

或

由此可见

, 令

3． 设

（1）（2）（3）若

为有界数列, 证明:

s , 则

（4）若

’

则为有界数列知

.

也是有界数列

,

故

并存在子列

与. 使得时有

, 即

（

2）设

于是, 此时有

由的任意性可得

*

即（3）设使得当

时, 有

由定理知, 对任给的

, 由此得

同理可证

, 使得

.

使

,

使

; （2

）对任意实数必存在

. 对F （x ）在

上应用根的存在定理即可.

, 对F （

x ）在上应用罗尔定理即可.

【答案】

（1）由于是,

对于, 使得

都存在. 设

并且存在子列

则对任意>0

, 存在N , 使得当n>N

时有

, 任给

, 存在正整数N

, 使得当

按上极限、下极限的定义有,

由定理知, 对任给的

存在N , 使得

当时, 有

由上、下极限的保不等式性可得

, 存在正整数N ,

,

, 又存在另一子列

使得

由上、下极限的保不等式性有由的任意性可知. （4）存在

的子列

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’因此

4． 证明:

当

时一致收敛.

对

而

关于

x 单调递减, 且

所以当

时,

一致收敛于0.

有

【答案】方法一

由狄利克雷判别法知

当方法二对

时一致收敛

作变换

即

, 则

由狄利克雷判别法知该积分收敛, 从而对递减且一致有界, 即

由阿贝尔判别法知, 当

5． 证明:函数

【答案】下面用归纳法证明当n=1时,

, 其中, 命题成立. 设在x=0处n

阶可导且

为次数不超过3n 的多项式.

, 其中

满足要求, 则

,

其中n 为任意正整数.

时

一致收敛. 该积分一致收敛, 又

关于x 单调

因为

的次数不超过3n , 所以

的次数不超过（3n-1）, 于是