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一、证明题

1． 证明:

【答案】令

, 其中

, 因为

所以函数f （x ）在所以

, 即

2． 证明下列结论:

f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）

在【答案】（1）假设从而有

（a ）为极限, 从而数列

当再证:当即

3． 设函数f , g在x 0的某个领域上可导, 且

如果【答案】取

证明

由

其中A 是实数. 中值定理, 令

有

时有

时有

, 由g （x ）单调递增, 则有

, 矛盾. 从而当

时有

（2）不妨设g （x ）单调递增. 对

.

由

（反证法）若结论不成立, 即存在

, 使得, 于是

, 即

,

, 则

）有

, 对任意正整数k ,

,

（正常数）, 即数列

也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是

知

,

的子列

不以f , 则, 则, 使得

.

上有定义, g （x ）单调, 且

上是凸函数. 因此

.

, 而

,

已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有

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从而所以令

则

使得当

时, 有

将使

固定, 令

. 有

则由知道

于是,

所以 4． 设

f

为

上可积函数, 证明:若f 的傅里叶级数在上一致收敛于f , 则成立帕塞瓦尔

（Parseval ）等式:

这里, a n

, b n 为f 的傅里叶系数. 【答案】

设

因为f （x ）的傅里叶级数在

故对上述的

上一致收敛于f , 所以, 任给

所以

从而, 由式（*）可得

存在N , 当m>N时, 有

当m>N时,

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二、解答题

5． 求三叶形曲线

所围图形的面积.

【答案】如图所7K , 所围图形的面积为

图

6． 己知

【答案】首先证明

令

代入①的左端得

故①成立. 又因为

根据迫敛性可知，

所以函数f （x , y ）在原点（0, 0）处连续.

7． 将函数

在

上展开成余弦级数.

的连续偶函数

.

试讨论函数f （x , y ）在原点（0, 0）处是否连续？

①

【答案】将f （x ）作周期性偶延拓, 得一周期为