2018年武汉理工大学理学院603数学分析二考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上二次连续可微, 且
, 证明:
其中
【答案】由Taylor. 展开式知
取
对②积分得到
从而有
2． 证明:f （x ）为区间I 上凸函数数.
【答案】
:
及
, 由f （x ）的凸性知
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代入①得到
①
②
函数为[0, 1]上的凸函
所以有
即
故f （x ）为I
上的凸函数.
3． 用有限覆盖定理证明聚点定理.
【答案】设有界无限点集中每一点均不是S 的聚点, 则
, 则H 为
有限个邻域
由于
为有限点集
, 使得
所以由上式知S 为有限点集, 与假设矛盾. 故S
在[-M, M]中至少有一个聚点. 4． 设
是有界闭集，
是D 上的连续函数
.
证明：f
（x , y ）在D 上有界，且一定取到最大值和最小值. 【答案】①f （x , y ）在D 上有界，用反证法来证明： 若f 无界，则
且
所以由连续性，
，这与已知条件矛盾，所以f （x , y ）在D 上有界.
②f （x , y ）在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明
. 由确界原理，知
存在，即
且
再由连续性和有界性得，
同理可得f （x , y ）在D 上有最小值.
. 显然若S 有聚点, 则必含于
, 使得
中. 假设
为有限点集. 记
为[0, 1]上的凸函数.
.. 及
, 因为函数
为[0, 1]上的凸函数, 所以
的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知, 存在H 中
二、解答题
5． 设
其中f （x ）为可微函数, 求
.
在定义区域内连续, 所以
【答案】由于函数（x —yz ） f （z ）与
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同理
6．
在抛物线
【答案】设
哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短.
为抛物线
上的一点, 则过该点的切线斜率为:
故点
处的法线方程为:
设法线与抛物线
的另一交点为
, 则由韦达定理可知, 两交点的距离d 满足
令由 7．
【答案】原式=
, 得
, 则
. 故所求点的坐标为
,
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