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一、证明题

1． 用有限覆盖定理证明根的存在定理, 即设f （X ）在闭区间[a, b]上连续, 且f （a ）f （b ）<0, 则存在（a , b ）,

使得

,

, 使

得

, 它构成了[a, b]的将区间[a, b]覆盖,

有

.

.

上有最大值M , 最小值m , 不妨设

则对

由闭区间上连续函数的介值定理, 可知在

内至少存在一点, 使得

当

3． 证明：函数项级数

【答案】由于收敛.

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【答案】用反证法假设

不妨设f （x ）>0.由f （x ）在[a, b]上的连续性

,

,

均有

一个开覆盖.

由有限覆盖定理, 存在H 中有限个互不相交的开集即

, 且

注意到k 是有限个, 所以f （x ）在[a, b]上每一点的函数值都同号, 这与因此存在（a , b ）, 使得

2． 证明:若函数

且则在

在区间[a, b]上连续,

内至少存在一点, 使得

在区间

让取遍[a, b]可得一个开集

矛盾.

【答案】设函数

时, 取即可.

在上不一致收敛，但和函数在，所以

不一致收敛于0，从而

上无穷次可微. 在（0，+∞）上不一致

对任意的的所以

在

，存在

有

使得由于对任意

, 且由根式判别法易知

收敛，

上一致收敛，

从而用数学归纳法可得和函数在X 0上无穷次可微. 由X 0的任意性可知和函数在

4． 证明:场

【答案】对空间任一点（x , y , z ）都有

故A 是有势场. 由

故其势函数为:

5． 证明棣莫弗（deMoiwe ）公式

【答案】设

代入欧拉公式得

上无穷次可微.

是有势场并求其势函数.

二、解答题

6． 用区间表示下列不等式的解:

（1）（3）（4）显然, 当当

即

综上, 原不等式的解为（2）显然, 当一个数是于是先求解不等式组

用区间表示为

解得

（2）

【答案】（1）原不等式可化为

时, 原不等式总成立. 时, 原不等式可化为

的解时, 它的相反数也是不等式的解. 即

, 解得

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于是原不等式的解集为

（3）由于

故可将不等于a 、b 、c （它们不是原不等式的解）的实数划分为4

个部分

都不变号, 由此可得原不等式的解集

的解集是

k 为整数.

当x 在其中任一部分中变化时, 为

（4）由单位圆中的正弦线可得

7． 讨论反常积分

【答案】当故当所以

时, 对一切发散, 从而

时, 对一切

收敛, 又

有

存在, 故

的敛散性.

有发散.

而发散,

而收敛.

收敛,

8． 应用高斯公式计算下列曲面积分:

（1）（2）（3）

的表面, 方向取外侧;

（4）（5）【答案】（1）（2）

（3）

由柱面坐标变换

原式=

（4）原式=

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其中S 为单位球面其中S 是立方体其中S 是锥面其中S 是单位球面其中S 为上半球面

.

的外侧; 的表面的外侧; 与平面z=h所围空间区域（

的外侧; 的外侧.

）

.