2017年东北理工大学线性代数(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 判定下列二次型的正定性：
（1）（2）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的1阶主子式
3阶主子式，即（2）f 的矩阵
它的1阶主子式1>0; 2阶主子式
知f 为正定二次型. 2． 设
【答案】
，3阶主子式，即
则
2
阶主子式
则知f 为负定二次型.
D 的（i , j ）元的代数余子式记作求
3． 问
取何值时，齐次线性方程组有非零解？
【答案】方程组的系数行列式必须为0.
因
故只有当
或
时，方程组才可能有非零解.
是它的一个非零解；
原方程组成为
显然
是它的一个非零解. 因此，当
或
时，方程组有非零解.
当=0, 原方程组成为显然当
4． 求一个正交变换化下列二次型成标准形
（1）（2）
【答案】（1）二次型f 的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值值为
对应特征值
解方程（A-E ）x=0，由
得单位特征向量对应特征值
解方程（A-2E ）x=0，由
得单位特征向量
对应特征值解方程（A-5E ）x=0, 由
得单位特征向量
令
则P 为正交阵，再作正交变换x=Py, 便把f 化为标准形
（2）二次型的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值为对应
解方程（A-2E ）x=0,
由
得单位特征向量
对应
解方程（A-E ）x=0, 由
得单位特征向量
对应解方程（A+E）x=0, 由
得单位特征向量
令
则P 为正交阵. 再作正交变换x=Py,
5． 写出下列二次型的矩阵：
（1）
即化f 为标准形：