2017年中央财经大学精算学(保险学院)之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
,
,
证明三直线
相交于一点的充要条件为向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关. 【答案】三直线有惟一解
相交于一点
非齐次方程
向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关.
2． 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系：
（1）（2）
【答案】（1）増广矩阵
据此，得原方程组的同解方程
取得特解
取得对应齐次方程基础解系
（2）增广矩阵
得同解方程组为
令得特解分别令，
得对应齐次方程的基础解系
3． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】由特征值性质得A 的特征值时，
是B 的特征值. 分别取
知A 可逆，并且
因为当
为
知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3
阶方阵，
故
4． 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样？
【答案】由矩阵秩的性质，有
5． 设n 阶矩阵A 与S 阶矩阵B 都可逆，求
【答案】（1）因A 和B 均可逆，作分块阵
由分块矩阵乘法规则，
于是⑵求
可逆，且
的逆阵，就是求n+s阶方阵x ，使
为此，根据原矩阵的分块情况，对x 作一样的分块，其中
把上式代入（1）式得到
比较上式两端两个矩阵，有
于是得
6． 设A 为n 阶
矩阵，
是未知矩阵（为明确起见，它们依次是
. 矩阵）
为A 的伴随矩阵. 证明
【答案】（1）当R （A ）时，（2）当即
. 得，从而
的任一元素均为零，
时，由矩阵秩的定义知，A 的所有，n-1阶子式即
（3）当R （A ）=n-1时，由矩阵秩的定义，A 中至少有一个n-1阶子式不为零，也即少有一个元素不为零，故
由矩阵秩的性质得
把R （A ）=n-1代入上式，得
7． 用矩阵记号表示二次型：
（1）（2）（3）
【答案】（1）
（2）
中至
知，
综合以上两个关于
的不等式，便有
另一方面，因R （A ）=n-1，有|A|=0.
由