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一、计算题

1． 若

【答案】

2． 设一批产品中一、二、三等品各占取到的是一等品的概率.

【答案】记事件A 为“取出一件不是三等品”，B 为“取出一件一等品”，因为A=“取出一件不是三等品”=“取出的是一等品或二等品”

，所以AB=B，于是所求概率为

3． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过他未等到服务而离开窗口的次数，试求

【答案】因为

4． 设总体

，其

中

他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内

所以得

现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为

试对参数给出矩估计. 【答案】由于

即

而样本均值

故的矩

估计为

5． 将一枚硬币投掷三次, 以X 表示三次中出现正面的次数, 以Y 表示三次中出现正次数与出现背面次数之差的绝对值, 试写出X 与Y 的联合分布律与边缘分布律.

【答案】由题意:X 可能取值为

的可能取值为1, 3; 则

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其中试求

.

. 从中任意取出一件，结果不是三等品，求

即得X 和Y 的联合分布与边缘分布为

表

1

6． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为

，与n 无关.

又设为“有n 个红球时，白球比黑球出

•

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球”容易看出:事件A ，B , C 互不相容，且现得早”，记

（2）设其中

. 以下对n 用归纳法:

，则

»

，代入可得

由归纳法知结论成立.

7． 在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格品率的置信水平为0.90的置信区间.

【答案】此处n=80较大，可用正态分布求其近似置信区间. 不合格品率的为

此处

因而不合格品率的置信水平为0.90的置信区间为

近似置信区间

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着:第一次就取出白球，所以有

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8． 设随机变量X 与Y 独立同分布，其密度函数为

（1）求【答案】（1）

与

的联合密度函数的反函数为

（2）以上的U 与V 独立吗？

变换的雅可比行列式

所以在的可能取值范围内，有

（2）因为U 与V 各自的边际密度函数分别为

所以由

知U 与V 相互独立.

二、证明题

9． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记这正是二项分布

因为

的特征函数，由唯一性定理知

样本方差分别为

且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

10．从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，

样本均值分别为

将两组样本合并，其均值、方差分别为

证明:

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

由

得

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