2018年仲恺农业工程学院森林培育314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设连续随机变量.
独立同分布，试证:
【答案】设诸的密度函数为而事件
从而该事件的概率为
若记诸
的分布函数为
则上式积分可化为
2． 考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位:mg ）为
，试检验假
设设鱼的含汞量服从正态分
布
.
【答案】这是在总体方差未知下关于正态分布均值的单侧检验问题， 检验的拒绝域为由样本观测值计算得到
，故在显著性水平0.1下接受原假设.
3． 设随机变量X 和Y 相互独立, 且均服从参数为1的指数分布,
求: （1）随机变量V 的概率密度（2）
故V 的概率密度为
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其联合密度函数为
，当0.10时，查表知，
；
【答案】 （1）X 与Y 的分布函数均为
的分布函数为
（2）解法1:
故U 的概率密度为
解法2:因为
4． 设二维随机变量
的联合密度函数为
求【答案】
5． 设
在以点
为顶点的四边形上服从均匀分布, 令
, 故
.
. 的分布函数为
.
（1）求U 与V 的边缘密度； （2）求X 与Y 的联合分布律； （3）求X 与Y 的协方差.
【答案】 （1） U 和V 的联合密度为区域,
如图1所示
.
, 其中D 为四边形所围成的
图1
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（2）同理可得, 故联合分布律为
表
1
.
（3）易得X 与Y 的边缘分布律
表
2
于是
6． 设随机向量X 与Y 都只能取两个值，试证:X 与Y 的独立性与不相关性是等价的.
【答案】因为独立必定不相关，所以只需证:若X 与Y 不相关，则X 与Y 独立. 不失一般性，可设X 与Y 只取0与1两个值，否则可设X 的可能取值为为c ，d. 又记
所以
与
的可能取值均为0, 1.
与
不相关. 所以只需证
表
与
是独立的. 记
的联合分布列
由X 与Y 不相关可得
的可能取值.
与各自的边际分布列如下表所示.
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