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一、计算题

1． m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m-l 个人中的任何一个. 求第n 次传球时仍由甲传出的概率.

【答案】设事件为“第i 次传球时由甲传出”，记

所以由全概率公式

得递推公式

将P1=1代入以上递推公式可得

特别，当

时，有

. 譬如m=5, 则

，

最后 2． 设

记【答案】

独立同分布服从

试找出与t 分布的联系，因而定出的密度函数.

的联合密度函数为

记

取一个n 维正交矩阵A ，其第一行为元素全为

其余元素只要满足正交性即可. 令

则该变换的雅可比行列式为1，且注意到:

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，则，且

第二行为

于是

的联合密度函数为

由此，

独立同分布于

且

令

则

而

这就建立了与t 分布的联系，并可定出的密度函数.

3． （泊松大数定律）设的概率为

【答案】记

则

所以由切比雪夫不等式，对任意的

有

即

为n 次独立试验中事件A 出现的次数，而事件A 在第i 次试验时出现

则对任意的

有

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4． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求

【答案】由条件知

，所以

.

5． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.

【答案】设事件为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记有

，且

所以由全概率公式得

得递推公式

将

代入上式可得

由此得

6． 将3个乒乓球放入4个杯子中, 求杯子中球的最大个数为1, 2, 3的概率.

【答案】设事件

表示“杯中球的最多个数为”, 3个球放入4个杯子中共有

种,

即

中不同方法,

表示“4个杯子中有3个杯子各有一球”, 则不同放法共有

表示“4个杯子中有一个杯子有2个球, 有个杯子有1个球”, 则共有

种不同放法, 即

中放法,

；

. 则

表示“3个球都放入了一个杯子中”, 则共有即

7． 设一个人一年内患感冒的次数服从参数效（能将泊松分布的参数减少为

的泊松分布. 现有某种预防感冒的药对的人有

），对另外的的人不起作用. 如果某人服用了此药，一年

内患了两次感冒，那么该药对他（她）有效的可能性是多少？

【答案】记事件A 为“服用此药后，一年感冒两次”，事件B 为“服用此药后有效因为

因此所求概率为

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