2018年仲恺农业工程学院农业昆虫与害虫防治314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设
为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为
（1）证明:若c 己知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若己知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】 （1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即其中
和
都已知，常记为
则在给出样本
后的后验分布密度函数为
，
»
其中
因此，
， 都已知.
所以当C 已知时帕雷托分布为的共扼先验分布. （2）当已知时，不妨设c 服从伽玛分布即则给出样本
其中
后c 的后验分布密度函数
这说明
，证明完成.
2． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？
【答案】若检验结果是接受原假设，可能有两种情况:其一是原假设为真，此时检验是正确的，未犯错误，其二是原假设不真，此时检验结果就错了，这种错误是接受了不真的原假设，为第二类错误，故此时检验可能犯第二类错误.
若检验结果是拒绝原假设，也可能有两种情况:若原假设本身不真，检验是正确的；若原假设事实上是真的，则检验就犯了第一类错误，由此，在此种场合，检验可能会犯第一类错误.
3． 在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强度（主要质量指标）的影响.
为了比较
与
的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位:N ）:
表
根据经验，温度对针织品断裂强度的波动没有影响. 问在均断裂强度间是否有显著差别（假定断裂强度服从正态分布，响说明二者的方差是相等的.
设X 为
时针织品的断裂强度，Y 为
时针织品的断裂强度，
，
由样本数据可算得
»
于是
在显著性水平
时，，
，因此拒绝域为
时检验的平均断裂强度与
由于t 值落
时的平均断裂强度与
）？
时的平
【答案】本题为关于两正态总体均值相等的检验问题，温度对针织品断裂强度的波动没有影
待检验的一对假设为
入拒绝域内，从而拒绝原假设，认为时的平均断裂强度间有显著
差别.
4． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；2个黑球. 现任取一个盒子，第三个盒子装有3个白球、从中任取3个球. 以X 表示所取到的白球数.
（1）试求X 的概率分布列；
（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？
【答案】（1）记为“取到第i 个盒子”，由全概率公式得
将以上计算结果列表为
表
1
（2） 5． 设
取拒绝域为【答案】
.
是来自0-1总体b （1, p ）的样本，考虑如下检验问题
，求该检验犯两类错误的概率. ，则
，于是犯两类错误的概率分别为
6． 设
独立同分布，且都服从
分布，试求
的分布.
，
【答案】因为的特征函数为
所以由诸的相互独立性得的特征函数为这正是正态分布
的特征函数，所以由唯一性定理知
7． 某工程队完成某项工程的时间X （单位:月）是一个随机变量，它的分布列为
表
1
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