2018年仲恺农业工程学院森林培育314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值
（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】 （1）此处
，的
置信区间为
从而的置信水平为0.95的置信区间（2）当未知时，的查表得
置信区间为
，因而的置信水平为0.99的置信区间为
上的均匀分布，求随机变量
的密度函数
，查表知
，
，样本标准差
.
（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；
2． 设随机变量X 服从
【答案】X 的密度函数为
由于X 在间外，
当
内取值，所以时，使
的可能取值区间为（0, 1）. 在Y 的可能取值区
的x 取值范围为两个互不相交的区间
, 如图
，其中
图
故
在上式两端对y 求导，得
即
3． 设随机变量X , Y 独立同分布，在以下情况下求随机变量
（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布. （2）X 服从几何分布，即
【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1，所以或1,
因此
（2）因为X 服从几何分布，所以
由此得
4． 设随机变量U 服从
上的均匀分布，定义X 和Y 如下:
试求【答案】先求
的分布列. 因为
的可能取值是
所以
综上可得
的分布列
表
.
的可能取值也为0
的分布列.
此分布对称，所以从而得
5． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
【答案】本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用t 检验法，欲检验的一对假设为:
拒绝域为由已知条件
，当显著性水平为0.05时，，故检验统计量的值为
因为显著差异.
注:这里没给出容量为36的样本数据，只给出样本均值与样本标准差s. 由于与s 是正态分布
的充分统计量，而充分统计量是不会失落样本中的有用信息，故给出与s 的值，等
价于给出具体的样本数据. 这一现象会在很多场合里出现.
6． 一个保险公司有10000个汽车投保人，每个投保人平均索赔280元，标准差为800元. 求总索赔额超过2700000元的概率.
【答案】记
为第i 个投保人的索赔额，
则
由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
7． 设随机变量（x ，y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数
；（2）x 与y 是否独立？
【答案】（1）因为P （x ，y ）的非零区域为图的阴影部分，
'
，故接受原假设，可以认为这次考试全体考生的平均成绩与70分无
图
所以，当-l ，当0 ，