2017年青海民族大学数学院731高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】（A ）
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 3． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
于是
4． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
二、分析计算题
6． 设
证明：
【答案】（1）任
意
. 即这就证明了
则
有
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故又
若
由则
有
故
（2）任意对
7． 设
（1）（2
）秩秩【答案】（1）（2）由于
由
显然有
自然有
即有故
又对时总有而且
即
有
故
是k 个实对称方阵，
都是幂等方阵
秩（2）
（1）设秩
是实对称阵，∴存在正交阵T , 使
证明:下述二条件等价：
再令
但
其中
再用
左乘，T 右乘②式两边，得
所以秩另一方面
秩
从而秩秩
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