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一、分析计算题

1． 设A 为2×2矩阵. 证明|:如果.

【答案】由

设

则由

且

则k=0，故

那么

【答案】因此有

由此得即

3． 设

证明：必存在实n 维向量【答案】设化为规范形

因有

使

故正惯性指数令

代入

得一个实向量

就满足

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若

=1，若r （A ）则

2． 证明：如果

其中是不等于1的两个3次单位根. 由题设有

是一实二次型，若有实n 维向量

使

经非退化线性替换

使

又因有使故负惯性指数即

4． 设

证明：

则

有

即有故的一基：代入并整理后得

因此， 由此得

T 的坐标.

证明存在正交矩阵T 使得

线性无关，从而为基.

又对时总有

即

有

故再求

故

又

若

由

则

有

故

【答案】（1）任

意

. 即这就证明了（2）任意对

5． 证明：以下三个多项式为在此基下的坐标.

【答案】设于是又设

则得

这就是g （x ）在基

6． 设A 是n 级实对称矩阵，且

由

显然有

自然有

【答案】由可知A

的特征值或1. 因此有正交矩阵T 使

其中1的个数等于A 的特征值1的重数.

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7． 解下列两个矩阵方程：

①

【答案】①解法I 设等号两端矩阵为A ，B. 则易知：

因此，原方程有唯一解为 解法II 利用初等行变换

.

由此得原方程唯一解为

②设等号两端矩阵分别为A ，B. 解法I 先求再求

易知：

因此原方程唯一解为

解法II 利用初等列变换.

易知：

故原方程唯一解为

8． 设

是线性空间V 的子空间，证明：

【答案】 ①任取则

令 则故

从而

因此，

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