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一、分析计算题

1． 给定两个四维向量作为 它的前两个列向量.

【答案】令得线性方程组

解得一般解为

取基础解系

则

是

的基. 正交化，得

再单位化得

则正交矩阵 2．

为所求.

定义

试证它的对偶基.

【答案】易证

令

都是使得

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求作一个4阶正交矩阵Q ，以

则

是w 的标准正交基

.

都是V 上线性函数，并找出V 的一组基

上线性函数.

使是

即有

解出得

同样可算出

满足

由于

. 是V 的一组基，而

3． 计算

是它的对偶基.

【答案】解法1用构造法. 构作线性方程组

（i ） （ii ）当

当

中有两个相等时，显然

互不相等时. 由范德蒙行列式知，方程组①的系数行列式

所以方程组有惟一解，其中

再作n 次方程

由①知，方程③有n 个不同根由根与系数关系知

将④代入②得

解2（i ）当

有两个相等时

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（ii ）当互不相等时，在中加一行加一列，配成范德蒙行列式，即

由于所以

4． 设

是任意复数，求矩阵

是多项式

的系数的相反数，由⑤式右端知f 的系数为

的特征值与特征向量. 【答案】若量.

若

则

于是是B 的n 重特征值, 任意非零列向量都是的特征向

是次数大于零的多项式，令

不全为0, 则多项式

则

5． 设3阶矩

阵

【答案】

其

中均为3维行向量，

且

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