2017年曲阜师范大学数学科学学院850高等代数A考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算下面的行列式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】 （1）
（2）（3）原行列式（4）160. （5）（6）0.
2． （1）设
一镜面反射（2）证明：【答案】（1）如果
则如果.
是一个镜面反射且
则
线性无关. 令
则令
是正交的单位向量，扩充成V 的一组标准正交基是一个镜面反射满足
则
（2）对V 的维数n 作归纳法. 当n=l时，
设
则
它是V 上的镜面反射. 若k=l, 则，
若k=—1, 则
是欧氏空间中两个不同的单位向量，证明存在 使
维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积.
将扩充成一组标准正交基
令线性变换
满足
正交变换只能
是必有k=±l. 令V 上线性变
换
命题已成立.
当n>l时，设对n-l 维的欧氏空间命题已成立，现设V 是n 维的. 首先易知：设W 是V 的子空间，对
于
可扩充为V 的一个镜面反射
现在看
若
满足
令
是反射：
则若由于
令的镜面反射
面反射
及
由于则
故 3． 设秩
证明：如果A 有零特征值，则零特征对应的初等因子次数不超过k.
【答案】设A 的若当标准形为
其中J 0为A 中所有特征值为0的若当形矩阵（即中可能有若干个若当块，其主对角线元均为0）. 其它若 当块
用反证法. 若t>k，则由①式有
这时由亍
所以
的
由决定的镜面反
射
任取V 的一个向量
命题已得证.
则必有单位向量
于是则
使且满足_
（因
于是
也是正交变换，由归纳假设有前面已说到
上
可扩充为V 的镜
显然
，也是单位向量. 由（1）有V 的镜面反射
使
是n —1维的欧氏空间，
任意. 有使
因此是V 的一些镜面反射的乘积. 至此已完成了归纳法.
的特征值均非零，即
下证
另设t 为中最大块的级数，它对应的初等因子为