2017年曲阜师范大学工学院764高等代数B(只含线性代数)考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1
．
设
分析
由
【答案】由
解方程组
得
由（1-22）知公因式都是
的公因式都是的公因式，故
2． 证明：①对称方阵只能与对称方阵合同；
②单位方阵E 与-E 在复数域上合同，但在实数域上不合同； ③对角线上元素为
的实对角方阵A 与E 合同的充要条件是，每个
即B 也是对称方阵.
②令C=iE，则C 是复满秩方阵且显然但不可能存在实满秩方阵P 使-1，但
的相应元素却为
，矛盾. 故E 与-E 在实数域上不合同. 为P 的第一列元素）
③设在实数域上A 与E 合同，即存在实满秩方阵
从而必有，.. 反之，设每个
则令C 为对角线上元素为
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且证明
：
解
出
的公因式，由（1-23）知的
于是
【答案】①设A 为对称方阵且与方阵B 合同，即存在满秩方阵C 使
即在复数域上E 与-E 合同.
因为一E 的第一行第一列交叉位置上的元素为
使
.
的实对角方阵，显然有
即A 与E 在实数域上合同.
3． 设A 为实数域R 上的一个n 阶方阵，满足
（1）设
为A 的一个特征值，证明：也是
的特征值.
两边取转置行列式，得
即也
（2）证明：如果A 的所有特征值都是实数，则A 是一个对称矩阵. 【答案】（1）由是A 的特征值，则是
的特征值.
（2）对矩阵的阶数用归纳法n=l时，结论是显然的. 设结论对n-1时成立. 对于n 阶矩阵A , 设口且
由于是
得
比较等式
的（1，1）元，知
则
进而
注意到B 是n-1阶实矩阵，特征值全为
知A 是对称矩阵. 故n 时结论成立. 由归纳原理，
实数，由归纳假设，B 为对称矩阵，由式
是A 特征值，由
是实数，存在实特征向量
则
将其单位化，仍记为
是正交矩阵，
在n 维欧几里得空间中，将
扩充为标准正交基
结论成立。
4． 证明：①正定矩阵主对角线上的元素都大于零；
②实方阵A 是正定的【答案】①设时得
正定，于是当C=E时
是正定矩阵.
是正定二次型. 于是对任意实满秩线性代换
现任取一组不全为零的实数（其中
零的实数，但f 是正定的，因此
即g 也是正定的.
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对任意实满秩方阵C ，是n 阶正定矩阵，
都是正定的. 为正定二次型. 故取
②若对任意实满秩方阵反之，设A 是n 阶正定矩阵，X=CY代入f 后，设为
代入X=CY，设
，由于均为实向量）
故
是不全为
5． 设T 是数域K 上线性空间V 的线性变换. 证明：
①若
是T 的分别属于特征值
且
则
于是由（8）得
②若T 是数乘变换，则存在
使
从而V 中任何非零向量都是T 的特征向量.
反之，若V 中任何非零向量都是T 的特征向量，则在V 中任取再任取V 的一个向量x. 若若若
或
则也有
设
但属于不同特征值的特征向量线性无关，故
矛盾.
的特征向量且
故
若
是T 的特征向量，相应特征值为
则
不是T 的特征向量；
②T 是数乘变换【答案】①因为
V 中每个非零向量都是T 的特征向量.
贝U 由假设x 也是T 的特征向量，设
则由①知不是T 的特征向量. 这与任何非零向量都是T 的特征向量的假设矛
因此，T 是数乘变换.
盾，故必有即也有
6． 证明：可逆变换是双射.
证明=
证明
7． 设分块矩阵
【答案】由
是方阵
，知，
是单射.
对
，故
：是满射. 对
即若有
是单射. 找
使
【答案】设为可逆变换，即有逆变换
用
使
同乘此式两边，则左
=
故是满射
.
右
既是单射，又是满射，因而是双射.
证明
由注意到两边取迹得
因此
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可得