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一、证明题

1． 设

在

上有一阶连续导数，且

证明：

【答案】

有

对其取极限可得

由已知条件有

2． 设

和在点

的某邻域内存在 有：

即有

于是有

故

.

3． 设f (x ) 为[a，b]上的有界可测函数，且

【答案】(反证法) 假设令

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若

在点连续，证明则

也存在，且

的邻域可微，从而由微分

【答案】对于固定的

与

令中值定理，

存在，且命题得证.

证明：f (x ) 在[a, b]上几乎处处为0.

那么

则必然存在某个使得

这与题设矛盾，所以原命题成立.

4． 设

在

上连续. 证明函数

在

是单调递増函数.

先证

时有

一方面

，

(否则，

若

左连续). 于是当

即

再证

当又当由此可知

当

时，

有

故

综上所述，

5． 求证：

(1) (2)

【答案】(1) 已知序列

严格递増，且

又设

再根据

显资

项的平均值不等式，有

在点连续. 由的任意性知

在

上连续.

在点右连续.

时，有时，

有

时，

有

又

是单调递增的，所以

当

时有

在点

左连续.

对

另一方面，

设

则

当因为

时，有

在

时

有在点

连续，

所以

上的最大值点

为

，

即从

而当

于是当

在

上连续.

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知

扩大而不减，因而

对

上处处有定义，又上确界随取值区间

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联合

与

式即得

(2) 记

由第(1) 小题结论，有

再由第(1) 小题结论，有

即有下界，从而极限

6． 设函数f 在点

当

时

即

存在.

存在左右导数，试证f 在点连续.

都存在，所以由有限增量公式：

当

故f (x ) 在点

连续.

时

于

是

【答案】因为f 在点的左右导数.

二、解答题

7． 设

【答案】

8． 设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最小。

【答案】x 与这n 个数之差的平方和为

又因

故

于是

由

得

问以怎样的数值x 表达所要测量的真

试按

的正数幂展开

为最小值点，因此x 为的算术平均值时，它与

这n 个数之差的平方和为最小。

9． 求下列函数的稳定点：

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