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一、证明题

1． 应用函数的单调性证明下列不等式：

【答案】(1) 令

则

所以f (x ) 在

(2) 先证明

增. 又因为f (x )

在

则

因此

所以当

(3) 令

则

所以当

时，

由此可得，

2． 设f 在点证明：

【答案】由于

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内严格递增. 又因令

连续，

所以

则

在连续，所以当时

于是在

内再证

的符号，

令

故严格递

令

则

连续，

故

连续，

即

为了确定

因此h (x )

在于是，g (x )

在故当

时

内严格递减. 又因h (x )

在内严格递减，又因为g (x ) 在

时

可微，且在给定了 n 个向量相邻两个向量之间的夹角为

所以

而

故

3． 证明下列结论：

⑴当(2) 若

时

，

在点a 的邻域

内连续，

有

且

【答案】(1)

令

使得

令

则

于是有

从这个式子中可解得

由亍

>

所以

且易知

(2) 由泰勒定理知

其中

比较

的两个展式有

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使得

其中并求和

，则

在

上

对

利用拉格朗日定理，

当

时

，

于是

令

4． 设f (x ) 在[0, 1]上连续，且

收敛.

【答案】对任意的

使从而

5． 设f (x ) 在

(1) (2) 设(3) 若条件改为

【答案】(1)

由界. 根据单调有界定理

(2) 设因此

由于f

在

时

所以由

可推出

知，

数列为收敛数列.

上连续，对

两边取极限，得

因为

收敛，所以

从而

时

，

由于f (x ) 在[0, 1]上连续，所以

在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

存在

在

上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

1取极限，利用

阶导数的定义及

在

内连续有

为在[0, 1]上的最大值，从而存

在使得

当

由于收敛，故该级数在[0，1]上绝对且一致收敛.

上连续，满足则有

则

|知，

数列

为递减数列.

由

设

证明：

为收敛数列；

有

(3) 此时(1) ，(2) 的结论仍成立.

因为当

6． 利用单调有界原理证明确界原理.

【答案】

设是非空有上界的数集

，确界.

若无最大值，

任取

否则记左半区间为

得一区间套

侧不含的点.

由S 的上确界.

首先

，

于是在

充分大时有

有

若不然，

则存在

使得

使得

数列

将，然后将单调递增，

是的一个上界.

若有最大值，

则最大值即为的上

如此下去，

的右

，往证为

二等分，

若右半区间含有的点，

则记右半区间为

二等分，用同样的方法选记单调递减，且

使得

因为的上界. 其次，

，

中含有的点，在

单调递增有上界，

所以存在

所以存在正整数

由

使得

的右侧含有中的点，矛盾，

故

是于是存在

知，当n

.

即为的上确界.

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