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一、证明题

1． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;

（2）两个偶函数之和与积都为偶函数; （3）奇函数与偶函数之积为奇函数. 【答案】（1）设令

与

是D 上的两个奇函数,

则

所以（2）设则

k （-x ）=f（-x ）g （-x ）= f（x ）g （x ）=k（x ）

所以（3）设所以

2． 倘若例. ）

【答案】不一定. 如反例:设数列

3． 证明棣莫弗（deMoiwe ）公式

【答案】设

代入欧拉公式得

为

为

是有界数列.

显然, 这两个数列都是无界数列, 但是

和

为D 上的奇函数, 为奇函数. 都是无界数列, 试问

是否必为无界数列? （若是, 需作证明; 若否, 需给出反都为偶函数.

为D 上的偶函数,

则

与

是D 上的奇函数, 是D 上的两个偶函数,

是D 上的偶函数.

二、解答题

4． 设函数p （x ）在[a, b]上非负连续, f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续单调增加, 则

【答案】用重积分来证明. 考察差

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交换积分变量x 与y 的位置, 仍然有

于是有

从而原不等式成立.

5． 计算下列曲线积分:

（1）（2）（3）（4）B :

（5）（6）

, L 是抛物线

从A （0, ﹣4）到B （2, 0）的一段;

.

,

若从x

轴

,

L

是维维安尼曲线

其中L 是由

和x+y=2所围的闭曲线;

其中L 为双纽线其中L 为圆锥螺线

L 是以a 为半径, 圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点

正向看去

, L

是逆时针方向讲行的.

【答案】（

1）闭曲线L 如图1所示, 其中AOB —段为, AB —段为

,

, 所以

图1

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（2）双纽线在第一象限的参数方程为其极坐标方程是故

,

由于被积函数与L 的对称性, 有

（3）由所以

（4）有向曲线L 如图2所示,

它的参量方程是

, 所以

曲线从

到

有

、

图2

（5）对L :

有

（6）设当t 从减小到

则维维安尼曲线的参量方程是时, 描出了曲线的方向, 于是

,