2018年湖南大学机械与运载工程学院610数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 用
方法证明:
【答案】则
因此,
存在
当
时, 便有
即
2． 按定积分定义证明
:
【答案】对于和为
从而
可取为任何正数, 只要使
, 就有
根据定积分定义有
的任一分割
, 任取
相应的积分
3． 设z=siny+f（sinx －siny ）, 其中f 为可微函数，证明:
【答案】设u=sinx－siny , 则
所以
二、解答题
4． 求由下列方程所确定的隐函数的极值.
（1）（2）
【答案】（1）令
令又从而（2）设令这时再将
, 故x=0舍去. 再以
代入
解得
, 则
, 解得x=0或
以x=0代入原方程, 得y=0,
故稳定点为
而
在稳定点
均有
及
代入
的表达式中, 得
可见
与y 异号. 故
所以在点P 1, P 3, . 取极大值
, 在点P 2, P 4
取极小值
于是该函数的稳定点为
则
则有x=﹣y , 将x=﹣y 代入原方程得
, 且y （1）= ﹣1, y （﹣1）=1.
, 解此方程得
故当x=l时有极小值﹣1, x=﹣1时有极大值1.
代入原方程解得
5． 确定下列函数的凸性区间与拐点:
【答案】（1
）
时,
当
. 故y 的凹区间为（2）
-, 时
. 当
, , 凸区间为
时,
. 故y 的凹区间为
,
由
；
, y 的凸区间为
.
由于
（即
得, y 的拐点为
.
当
. 时
,
;
当
-
）无实根, 故y 无拐点. （3）得（4）由由区间为
（5）当
, 凸区间为得,
得
和
, 时
,
;
当和
, 拐点为
.
或
,
, 故拐点为
, 解得
或
, 凸区间为
和
.
由.
, 由时
,
得
,
故y 的凹区间
为
,
, 由
得x=－l , 于是拐点为（－1, 0）. 由
和
, 得
, 解得
. 故y 的凹
得
.
.
由
. 故y 的凹区间为（－1, 0）, y 的凸区间为
6． 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:
（1）（2）（3）
【答案】（1
）记
时
,
故
（2）因判别法知原级数收敛.
,
故
从而级数
sinnr 的部分和数列
从而级数收敛.
（3）注意到数列
单调递减且
故只需考察级数
的部分和数列
即S n 有界.
又
时, 数列
单调递减且
由狄利克雷判别法知原
则
又
故
时
,
收敛, 由阿贝尔
单调且有界, 因此数列
关于n 单调有界. 又级数