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一、填空题

1． 微分方程

【答案】

这是一个齐次型方程，

设

代入可得特解为

得到通解为

满足

的解为_____。

【解析】

方程的标准形式为

C 为任意常数，再将初始条件

2． 若

【答案】【解析】由于

，则

_____。

，且

则

3． 设D 是由曲线

【答案】【解析】

4． 已知幂级数

。

与直线x+y=0及y=2所围成的有界区域，则D 的面积为_____。

的收敛半径为2，则幂级数的收敛区间为_____。

【答案】（-3, 1） 【解析】由于幂级数

半径R=2不变，故收敛区间为（-3, 1）。

5． 等分两平面

【答案】

可由幂级数

逐项求导和平移得到，则其收敛

间的夹角的平面方程为_____。

【解析】等分两平面夹角的平面必然经过此两平面的交线，设所求平面为

即

又所求平面与两平面的夹角相等，则

解得

，再将

代入所设方程得

6． 已知幂级数为_____。

【答案】（0, 2]

【解析】利用阿贝尔定理，

由于幂级数

处收敛；

由于幂级数

处发散。故该幂级数的收敛域为

在x=2处收敛，

则该幂级数在在x=0处发散，

则该幂级数在。

在x=2处收敛，在x=0处发散，则幂级数

的收敛域

二、计算题

7． 不用求出函数并指出它们所在的区间。

【答案】函

数少存在

,

,

分别

在

内可导,

且

, 使

即方程

至少有三个实根, 又方程

为三次方程, 故它至多有三个实根, 因此

内。

方程有且仅有三个实根, 它们分别位于区间

8． 试举出具有以下性质的函数f （x ）的例子：

上连续, 分别

在

由罗尔定理知至

的导数, 说明方程

有几个实根,

是f （x ）的所有间断点，且它们都是无穷间断点。

【答案】设

，显然f （x ）具有所要求的性质。

9． 在什么条件下，（a , b ）内的连续函数f （x ）为一致连续？

【答案】若

均存在，设

易证F （x ）在上连续，从而F （x ）在上一致连续，也就有F （x ）在内一

致连续，即f （x ）在（a , b ）内一致连续。

10．求方程的近似根, 使误差不超过0.01。

【答案】设函数

由零点定理知至少存在一点实根。又方程

, 即

在（l , 3）内有惟一的实根。

在（1, 3）内至多有一个实根, 因此方程现用二分法求这个根的近似值:

在[l, 3]上连续, 且, 使

, 即方程

,

在区间（1, 3）内至少有一

, 故函数f （x ）在[1, 3]上单调增加, 从而

故误差不超过0.01的根的近似值为

11．计算下列积分：

【答案】（1）因为

原式

故

（交换积分次序）

由于

因此

原式