2017年天津师范大学电子与通信工程学院601数学(含微积分、复变函数)考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． （1）函数f （x ）在[a，b]上有界是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件，而f （x ）在[a，b]上连续是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件;
（2）对常积分
，它的变上限积分上非负、连续的函数f （x ）收敛的_____条件。
一定______。
在
上有界是反
（3）绝对收敛的反常积分
2． 幂级数
【答案】[-1, 1）
【解析】分为两个幂级数分别考虑 幂级数幂级数则幂级数 3．
函数
点的外法线方向的方向导数
【答案】【解析】
球面
其方向余弦为
在点
的收敛域为
【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收敛
的收敛域为_____。
；
； 的收敛域为（-2, 2）
的收敛域为
在点_____。
。
处沿球面
在该
处的外法线向量为
，则
，
4． 过x 轴和点（1, -1, 2）的平面方程为_____。
【答案】
【解析】由题意知，所求平面经过x 轴，故可设其方程为，故其满足平面方程，
得
（1, -1, 2）
。
5． 直线L ：
【答案】【解析】设有
，绕直线L 1：
即
。又所求平面经过点
，
即
故所求平面方程为
旋转一圈所产生的曲线方程是_____。
是1上的一点，当L 绕L 1旋转时，M 0旋转到
此时
又因
即
由此式得
（2）式代入（1）式中，得
即
6． 若
【答案】【解析】在又
，即
两边求导得
， 。
为可微函数且满足
_____。
二、计算题
7． 设己知两点
【答案】向量
（4，
，1）和
（3，0，2），计算向量. 其方向余弦分别为
的模、方向余弦和方向角.
，1），其模
=
=（3，﹣4，0，﹣，2，﹣1）=（﹣1，﹣
方向角分别为
8． 设一圆锥形贮水池，深15米，口径20cm ，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
【答案】以高度h 为积分变量，变化范围为[0, 15]，对该区间内任一小区间[h，h+dh]，体积为
，记γ为水的密度，则作功为
9． 设级数
收敛，且
不一定收敛。
必定收敛，因为
根据收敛数列的保号
收
问级数
是否也收敛？试说明理由。
【答案】级数当
是正项级数时，在题设条件下
即有
性知，存在正整数N ，当n ≥N 时有敛，即
当
收敛。
不是正项级数时，
于是，按正项级数的比较审敛法知
可能不收敛。例如：若
然而
发散。
则
收敛，且
10．利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：
【答案】（1）
令
可得
从而
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