2018年电子科技大学计算机科学与工程学院835线性代数之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是n 级实矩阵, 证明:存在正交矩阵T 使项式的根全是实的.
【答案】必要性. 设有正交矩阵T 使
为三角矩阵
为三角矩阵的充分必要条件是A 的特征多
其中
都是实数.
充分性. 用数学归纳法证明. 当
时结论显然成立. 假设结论对以
都是实数, 而A
与有相同的特征多项式.
它的根就是
级实矩阵成立.
取一个根
求出相应的特征向量
如果n 级实矩阵的特征多项式的根全是实数:
为第1列, 作一个正交矩阵则
是一个
设, 存在正交矩阵
级实矩阵, 它的特征多项式的根是使
都是实数. 因此根据数学归纳假
为三角矩阵. 令
则T 为正交矩阵, 且
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为上三角矩阵.
2．
计算
n 阶行列式
【答案】解法1:按第一行展开得，
对应特征方程：
解之得两根令
时
，时
，
由式（
1）、式（2）得解法2:按第一行展开可得
,
因此
同样由
可得
又
，故
解之得
则 （1
）
（2）
，所以
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3． 设问a ，b 满足什么条件正定.
【答案】
（1）当变元的个数为偶数2m 时，f 的矩阵为
于是
故A 的特征值为
（2）当变元的个数为奇数
正定
4． 设V
为有限维线性空间,
试证明之. 【答案】用反证法若取则再令
的一组基
令
（均为m 重），故
时，
综上所述，f
正定
正定.
使
故A 的特征值为
为非零子空间,
如果存在惟一的子空间
设
并扩大为V 的一组基
则
由于
则
（直和）则
上③式右端的矩阵行列式值为1, 可知基. 因此
下证
. 用反证法, 若
有
则有
这是不可能的. 因为由
线性无关, 从而也是V 的一组
再由②知矛盾.
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