2018年大连交通大学理学院601高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 求多项式
在复数域和实数域上的标准分解式.
有
个复根
故
（2）在实数域范围内
.
又
当n 为奇数时，
恰有一个实根
，因而
当n 为偶数时，因而
2． 设
是秩为2的实矩阵，求线性方程组
与
的基础解系. 同解. 由
则A 中必
有两个实相
【答案】（1）在复数范围内
【答案】由A 是实矩阵，故线性方程组有2阶子式不等于0, 为简化符号，不妨设
若方程组只有零解，没有基础解系. 若. 方程组可以改写为
由克莱姆法则，得
其中由未知量为0得
取基础解系为
3． 设数
互异，又
【答案】考虑线性方程组
为任意数. 证明:存在唯一的次数小于n 的多项式
满足
为自由未知量.
取自由未知量
4
,
其余自
因其系数行列式D 是一个范德蒙德行列式且则 4． 给定
的两组基
次数
且
互异，故
，从而有唯一解，设为
又因为方程组解的唯一性，故此种多项式唯一.
定义线性变换
（1）写出由基（2）写出（3）写出
在基在基
到基
下的矩阵; 下的矩阵.
，则
的过渡矩阵;
【答案】 （1）令
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又令过渡矩阵为
对两端将. 的表达式代入后，得到
解此方程，得
,
（2）因为
在基（3）因
故
5．
设S 是酉空间V 的一个非空集合
，记
证明:
是子空间，且
，并举例说明, 对任一
有
所以
即由又可见因此
的任意性知是V 的子空间. ，由题设知
下的矩阵就是Z
在下的矩阵仍为Z.
不一定成立. , 所以
【答案】对给定的集合S , 显然V 的零元素属于
,
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