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一、分析计算题

1． 证明:直和可以“代入”和“加括号”, 即

①若 ②若

【答案】得

显然又若

则于是由（1）得

但是, 故

因此,

显然. 又若

可设则

但是直和, 故

从而

因此,

2． 在复数域内解下列四次方程：

【答案】一般四次方程的通用解法概述如下： 设

为复数域上四次方程，称关于t 的方程

为方程（9）的三次预解方程. 设

为其任一根，并令

为满足

的

与

的平方根. 则方程（9）的四根就是下列两个二次方程的根：

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（1）

（9）

10）

11）

12）

（ （ （

（13）

这就是说

，欲解四次方程（9）, 就要先求三次预解方程（10）的一根；再求满足条件（

11）的

与

由方程即

且

的平方根；最后再解两个二次方程（12）, （13）即得.

知

：

为其一根，又易知：

故可取的两个二次方程为

其根分别为

与

这就是原方程的四根.

（或前者取-1,

后者取2）, 最后解相应于（12），（13

）

故其三次预解方程为

3． 由行列式定义证明:

【答案】由定义，行列式中一般项为

其中所以当

是一个5级排列. 因为在这个行列式中

中有一个等于3或4或5时，此项为0.

但是

而且各不相同，因

此至少有一个

4． 设的两个子空间

大于或等于3, 由此可知每项都为0，因而行列式0. 为

求【答案】

的维数与一组基.

得方程组

解之, 取基础解系为由

定义式易知

故是

的基,

由维数公式, 得

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故

5．

计算柯西（Cauchy ）行列式

其基可以取为

【答案】将行列式第n 行的-1倍加到其余各行

，行提公因子提公因子

，得

，列

将上式中行列式的第n 列的倍加到其他各列，按最后一行展开后，列提公因子 行提公因子

，可得

依此递推，结合

得，

6． 设v 是定义域实数集R 的所有实函数组成的集合, 对于f+g, af ;

则v 成为实数域上的一个线性空间. 设

（1）判断（2）用

表示

【答案】（1）令

是否线性相关, 写出理由； 生成的线性子空间, 判断

即

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分利用下列式子定义

① ②

是否为直和.