2017年山西师范大学概率论与数理统计(加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 的概率密度为
（1）求Y 的分布函数； （2）求概率
从而a=9.
【答案】（1）先求常数a 的取值：设随机变簠Y 的分布函数为
则
令随机变量
故随机变簠Y
的分布函数为
故
2． 设随机变量X 服从二项分布b . 若，随机变量Y 服从二项分布b （2，p ）（4，p ）试求
中解得p=2/3.由此得
【答案】从
3． 从一个装有m 个白球、n 个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止. 试求取出黑球数的期望.
【答案】令X 为取到白球时已取出的黑球数，则Y=X+1服从几何分布
所以
E （Y ）=（n+m）/m=n/m+l，由此得E （X ）=E（Y ）-l=n/m.
4． 有一批枪弹，出厂时，其初速（单位：m/s）. 经过较长时间储存，取9发进行测试，得样本值（单位：m/s）如下：
据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（分别为假设分别为
在显著性水平为下，
检验的拒绝域为
著降低.
关于本题说明一点：本题中的一对假
设
由于使用该拒绝域的检验的势函数为
是的减函数，因而要求
与要求
等价，从而两个检验问题的拒绝域完全一
的检验与另一对
假设
的检验有完全相同的拒绝域，这是因为二者的拒绝域形式相同，
都形如
若取
查表知
经计算得
此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，可以判断这批枪弹的初速有显）？
待检验的原假设矾和备择假设
【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体
致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.
5． 设为来自b （1，p ）的样本，试求假设
【答案】样本的联合概率函数为
利用微分法，在上p 的MLE 为
的似然比检验. 两个参数空间分别为则似然比统计量为
通过稍显复杂的求导可知，当时，为的严增函数，而当 时，
关于的
为的严减函数（对此性质，也可以画出
，从而拒绝域
图形看出）
这说明此时的似然比检验与传统的关于比率p 的检验是等价的，其中临界值
由显著性
水平确定.
6． 设某厂大量生产某种产品, 其不合格品率p 未知, 每m 件产品包装为一盒. 为了检查产品的质量, 任意抽取n 盒, 查其中的不合格品数, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.
【答案】总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数；样本是任意抽取的n 盒中每盒产品的不合格品数；样本中每盒产品中的不合格品数为
的分布为
因其中
,
所以样本
7． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 都服从参数为的指数分布. 令
求
【答案】方法一:直接按照二元函数期望公式计算
方法二:利用条件期望计算 在X=x给定时, .
’是关于Y 的函数
8．
设
是来自韦布尔分布
,
的样本（m>0已知）, 试
给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
若
令理,
是
,
取
的充分统计量.
,
, 由因子分解定
二、证明题