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一、计算题

1． 设圆的直径服从区间（0，1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.

【答案】设圆的直径为X ，则圆的面积

而X 的密度函数为

因为且

在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为所以圆面积

的密度函数为

2． 请叙述下列事件的对立事件：

（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B=“射击三次，皆命中目标”； （3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品 【答案】（1）（2）（3）

“掷两枚硬币，至少有一反面

“射击三次，至少有一次不命中目标 “加工四个零件，全为不合格品

求

3． 掷一颗骰子两次，以x ，y 分别表示先后掷出的点数，记

【答案】

所以

4． 设二维离散型随机变量（X ，Y ）的概率分布为

表1

求： （I ）

（II ）

【答案】

表2 表

3

（I

）（II

）

故

5． 在一个单因子试验中，因子A 有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下：

表

试计算误差平方和因子A 的平方和与总平方和并指出它们各自的自由度.

【答案】此处因子水平数r=3，每个水平下的重复次数m=4，总试验次数为n=mr=12.首先，算出每个水平下的数据和以及总数据和：

误差平方和

由三个平方和组成：

于是

而

6． 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.

（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2; （2）学生知道正确答案的概率是0.2.

【答案】记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则按题意

有

（1）此时有

所以由贝叶斯公式得

（2）此时有

所以由贝叶斯公式得

7． 箱子里有n 双不同尺码的鞋子，从中任取

（1）（2）（3）（4）样本点数.

只，求下列事件的概率.

=“没有一双成对的鞋”； =“只有一对鞋子”： =“恰有二对鞋子”： =“有1*对鞋子”.

个等可能的样本点，这是分母，下面分别求各事件所含的

【答案】该问题中样本空间含有