2017年山西大学概率论考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 假设只考虑天气的两种情况：有雨或元雨. 若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p ，变的概率为1-p. 设第一天无雨，试求第n 天也无雨的概率.
【答案】设事件
为“第i 天无雨”，记_1
所以由全概率公式得
得递推公式
所以
将由此得
2． 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为
表
试求顾客在商店平均购买服装件数. 【答案】
3． 总体的长度不大于k.
【答案】由已知条件得的0.95置信区间为
其区间长度为置信区间的长度不大于k.
若使
即样本容量n 至少取
只需
由于
，
故
时，才能保证的置信水平为95%的
，已知，问样本容量n 取多大时才能保证的置信水平为95%的置信区间
代入上式可得
则有
且
4． 设是来自的样本, 问n 多大时才能使得因而
成立？
【答案】样本均值
所以这给出即n 至少为62时, 上述概率不等式成立.
5． 某工程队完成某项工程的时间X （单位：月）是一个随机变量，它的分布列为
表
1
（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；
，单位为万元. 试求工程队的平均利润； （2）设该工程队所获利润为Y=50（13-X ）
（3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间&（单位：月）的分布为
表
2
则其平均利润可增加多少？ 【答案】（1）需11个月.
（2）为100万元.
（3）调整安排后
，
所以平均利润
为
由此得平均利润可增加120-100=20（万元）.
6． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.
【答案】这是一个配对问题. 以A ；记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2，…，n. 因为
所以由概率的加法公式
得
该工程队完成此项工程平均
该工程队所获平均利润
当n 较大时，上式右端近似于
7． 设总体密度函数为
（1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计. 【答案】（1）似然函数为
对数似然函数为
将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程
解之得
（2）令Y=-InX, 则
，从而有因此Y 〜Exp （θ）=Ga（1，θ）
于是
为求有效估计，需求出θ的费希尔信息量，注意到，lnp （x ，θ）=Inθ+（θ-1）lnx ,
于是
而
于是g （θ）的任一无偏估计的C-R 下界
为是g （θ）的无偏估计，且方差达到了C-R 下界，所以
的有效估计. 8 设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5, 现从中抽取一个容量为4的样本, 试分别求．
【答案】由古典概率可得
这就给出了
的分布列
表
是其样本.
从而是g （θ）
和的分布.
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