2017年宁夏大学数学计算机学院601数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
在[0, 1]上单调増加，
不成立，那么显
然
由于
在
2． 若函数u=u(x ，y ) 满足拉普拉斯方程满足这个方程.
【答案】设而由
及
注意到
则有
即v 也满足拉普拉斯方程.
3． 试应用
定义证明
肘，
从而对任给
取
则当
时，
所以
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证明
：
不妨
设
【答案】设
显然M 是非空的，下证_用反证法，假
设使得于是
则
对存
是连续函数，则对于任意的
与单调性矛盾，因此假设不成立. 即证得
证明：函数
也
则
【答案】因为当
4． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得
【答案】不妨设
令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而
若若
则由上式
•则必大于0, 于是
由介值性定理，存在
使得
即
5． 试用聚点定理证明柯西收敛准则。
【答案】设
收敛，令于是
设数列
满足柯西收敛准则的条件.
如果集合
只含有有限多个不同的实数，则从某一
的极限.
如果集合
至少
中
都含有集合
于是，对任给的
存在正整数N , 使得当
时，
有
于是任取
即可.
项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立. 此时，这个常数就是数列有一个聚点
假如
无限多个点. 这与取
整数N ，当对于任意使得
有两个不等的聚点
存在正时，有存在N , 使得当因而，当
时，
故数列
6． 设f (x ) 在
【答案】
由泰勒公式有
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含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理，集合
不妨设
矛盾. 故时，
的聚点是惟一的，记之为 又因为是
的聚点，所以存在
令
则与
收敛于
上具有连续二阶导数，又设
则在区间
内至少有一个点
使
其中
甶0与x 之间
.
而f (0) >0，由介值定理，至少有一点
使
二、解答题
7． 求取外侧.
【答案】球面在点(X ，y ，z ) 处的法向量为
由两类曲面积分的关系，有
其中
作极坐标变换，有
8． 确定下列函数的凸性区间与拐点：
【答案】故y 的凹区间为
凸区间为当
的凸区间为
由
得
或
故y 的凹区间为
时由于得
由
得的拐点为
，
当
（即y 的凸区间为
由
。由
凹区间为
得和
解得凸区间为
或
由
由
.
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其中S 是球面的第一卦限部分，
当
时，当时，
时故y 的凹区间
为
）无实根，故y 无拐点。
由
和
得得
得
故拐点
为
解得
得
和故y 的
当由
于是拐点为