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一、证明题

1． 证明

【答案】令

则

所以

2． 设

为二阶可微函数，

为可微函数，证明函数

满足弦振动方程

及初值条僻【答案】

所以

3． 设

是

上的有界连续函数，证明:对任意使得

【答案】记

分三种情况讨论.

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其中

存在数列满足

(1) 若存

在使得

当

则

时，恒

有

而且

即

取

这表明记为上

由(2) 若存在

(3)

若存在

是单调递增数列. 注意到的有界性，利用单调有界定理，

可得

存在，

使得当

满足

：

时，恒有

使得

这种情形可仿照(1) 证明.

. 使得而且

由连续函

于是，有

数根的存在定理知，存在

4． 设f (x ) 在在

【答案】

上一阶可微，且

在

上单调递减，试证：亦

上单调递减.

代入①式，得

在

单调递减.

在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，级数收敛，故

记

则

进而可得

时在

上取得最

其中

因为

5． 证明：级数1]上却不一致收敛。

【答案】对任意

大值，所以

从而下面讨论级数

故原级数在由于

所以原级数在

数在

上却不一致收敛.

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上一致收敛.

上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成的级

6． 证明：若函数，在光滑曲线L

:

. 其中

为的弧长.

上连续，则存在点

...

使得

【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续，从而曲线积为存在，且

又因f 在L 上连续，L 为光滑曲线，所以值定理知：

使

令

显然

所以

在上连续，由积分中

二、解答题

7． 求由方程

【答案】方法一 由隐函数求导，得

所确定的函数z=z(x ，y ) 的极值.

令得方程组

由此求出临界点x=0, y=l.再代入原方程，求出两个隐函数的值为

求二阶偏导数，由(1) 式和(2) 式，得

用x=0， y=l，代入上式，得

所以隐函数

在(0，1) 点有极小值1. 用x=0， y=l

，

所以隐函数

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代入(3) 式〜(5) 式，

得

在(0，1) 点有极大值3.