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一、证明题

1． 求证：序列

【答案】对

只要

发散.

及

便有

2． 证明：如果在旋转曲面的面积公式(3) 的推导过程中，过点该切线在得到公式(3) 。

【答案】

因为过点

作曲线C 的切线，

其方程为

即即

又因为当所以得到

3． (1) 设

(2) 设【答案】(1) 令

则

则

有下界，

又

上单调递减，则

两边取极限得

(2) 令

则

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作曲线C 的切线，选取的近似可求量

则也可以

的一段绕x 轴旋转一周生成圆台的侧面面积作为

选取该切线在

的一段绕x 轴旋转一周生成圆台的侧面面积

时，有

在上非负递减，证明

时证明数列

收敛.

有极限L ，且

其中

从而

单调递减，从而由单调有界定理得

由于

在

收敛，

且

由(1) 知道时，

敛.

4． 设S 为非空数集，定义

⑴

【答案】(1) 设又有对于任意正数

界，即

(2) 同理可证.

5． 设

⑴若

在

上连续，则

⑵若

收敛，则

【答案】(1)

其中

在

与之间，在a 与b 之间，令

知

则

由

的连续性及

，

证明：

存在

(2)

则任意

使得，而

收敛，令

收敛，所以

可知

是

的瑕点，

当

收

收敛. 因此，数列

证明：

则于是

，

即

故

是的一个下界.

故

是

的下确

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(2)

类似于(1) 的方法有

其中

在

与

之间，令

则

由

的连续性及

收敛有

二、解答题

6． 设

在R 上二次可微，且

，有

（1）写出（2）求证：对（3）求证：【答案】⑴

（2）将第（1）小题得到的两个泰勒公式相减，得

由此，利用条件

即得

（3）设

，则有

其中等号当

时，即当

时成立. 将此h 值代入（1）式，即得

7． (1) 讨论函数

(2) 求函数【答案】(1) 显然

在

.

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关于h 的带拉格朗日余项的泰勒公式；

在(0, 0) 处的可微性. 下的最大值与最小值.