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一、证明题

1． 设f 为

上的增函数，其值域为

都存在.

设

同理有假

设时

，

这与f 的值域为

或

者

证明f 在

上连续. 设

. 因为f 为因为

当

因为

为

当

矛盾. 故f 在则不存

在

时

使

得时

【答案】用反证法. 假如f 在上的增函数，所

以所

以

于是或

者

上不连续，则f 有间断点.

由函数极限的保不等式性得

这是因为：

当

而

上连续.

2． 设为连续函数，

的间断点，

均为可导函数，且可实行复合与证明：

【答案】取

且

定义域内一点a , 则令则

于是

3． 验证

【答案】因为

所以

而当

时，有

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是在上的一个原函数。

即

4． 设在

因而上连续，

即证明

是在R 上的一个原函数。

【答案】因为

所以

从而

5． 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程. 一个实根.

【答案】设方程. 区间

上应用罗尔中值定理知，

存在

即

至少有n 个相异实根. 再对

使得

至少有n-2个相异实根

在R 上严格增.

则

即

故

在

上严格増.

在n-1个区间

即.

至少有一个实根.

理知，存在续下去可得

6． 证明：

【答案】设

使得

.

上应用罗尔中值定

至少有n-1个相异实根. 如此继

的n+1个相异的实根为

并且

对f (x ) 在

有n+1个相异的实根，则方程

至少有

二、解答题

7． 设

【答案】当

求

时，被积函数趋向于0, 所以积分是正常积分. 注意到

则原积分可写成

由于

在

(设

) 上连续，所以积分次序可交换，即

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记

连续使用分部积分法可得

即

于是

8． 求

【答案】设当方程在

当没有实根；

当间

时，内，

故用牛顿切线法求近似根应取

迭代过程如下：

因此，取

作为近似根。

9． 求下列幂级数的收敛域：

【答案】(1) 设

则

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的实根到三位有效数字

则

于于是

于是

在是在

在

上严格递增；又上严格递减.

因为上严格递増. 因为内. 由于

|所以方程在所以方程在该实根属于

在区

所以上

时，

时

，

上存在惟一实根；

上没有实根，因此，

方程的惟一实根在